Los babilónicos, fueron una de las primeras culturas en dejar vestigios de grandes avances matemáticos. Los babilonios vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre los ríos Tigris y Éufrates, hacia finales del milenio IV antes de Cristo.

En más de 500 de ellas apaprecen manifestaciones matemáticas que nos han permitido descubrir desde su sitema de numeración en base 60 a sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras

De su afición a las observaciones astronómicas acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares: De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.  Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya. 
  
Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas de la forma
n3 + n2 = a

A partir del año 2.000 a de C, descubren las ventajas de un sistema posicional, que les permite escribir cualquier número con sólo dos símbolos T para el 1 y < para el 10.
La base que utilizan es 60.

Como dijimos, los primeros testimonios materiales de la existencia del pensamiento matemático son ciertos dibujos y símbolos trazados sobre ladrillos o tabletas sirias y babilónicas, entre los siglos XXX y XX antes de nuestra era.

Su contenido ha sido la fuente principal del conocimiento de sus matemáticas en la antigüedad. A partir de estos primeros testimonios matemáticos babilónicos se ha podido deducir, por ejemplo, la existencia de un sistema de numeración de base 60 y algunas operaciones aritméticas, además de datos astronómicos y construcciones geométricas. Se emplea un calendario lunar avanzado y se introducen unidades de tiempo como el minuto y la hora.

Combinando dos figuras, los babilónicos construyeron 59 número:

De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc.

Los problemas que se planteaban eran sobre cuentas diarias, contratos, préstamos de  interés simple y compuesto.

En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra hay problemas de segundo , tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de ecuaciones.

Los babilonios usaban fórmulsa para hacer la multiplicación más fácil, puesto que no tenían tablas de multiplicar. Pero tenían una tabla en la que se hallaban escritos todos los cuadrados necesarios para multiplicar.

La división fue para los Babilonios un proceso más difícil. No tuvieron un algoritmo para la división larga, de modo que fue necesaria una tabla de números recíprocos.

Muchas de estas tabletas versan sobre temas que, aunque no contienen matemáticas profundas, son de todos modos fascinantes. Por ejemplo, mencionamos anteriormente los sistemas de irrigación de las primeras civilizaciones mesopotámicas. Se habla de ellas en [40], donde Muroi escribe:

Cavar y mantener los canales era una tarea importante para los gobernantes de Mesopotamia, porque los canales no sólo eran necesarios para la irrigación, sino que también servían para el transporte de mercancías y ejércitos. Los gobernantes, o altos cargos gubernamentales, deben de haber ordenado a los matemáticos babilonios calcular el número de trabajadores y días necesarios para la construcción de un canal, y calcular el gasto total en salarios de los trabajadores.
Hay varios textos matemáticos de la Antigua Babilonia en los que se piden diversas cantidades relacionadas con la excavación de un canal. Son las YBC 4666, 7164 y VAT 7528, todas ellas escritas en Sumerio ..., y YBC 9874 y BM 85196, Núm. 15, que están escritas en Acadio ... . Desde el punto de vista matemático estos problemas son relativamente simples ...

Quizá el aspecto más sorprendente de las avanzadas habilidades de cálculo babilonias era la construcción de tablas para facilitar el cálculo. Dos tabletas halladas en Senkerah en el Éufrates en 1854 datan de 2000 a. C. proporcionan los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. 

Los matemáticos babilonios fueron mucho más allá de las operaciones aritméticas. En nuestro artículo sobre El teorema de Pitágoras en la matemática babilonica examinamos algunas de sus ideas sobre geometría y también algunas ideas básicas sobre teoría de números. En este artículo examinamos ahora parte del álgebra desarrollada por los Babilonios, en particular problemas que llevaron a las ecuaciones y su solución.

Indicamos anteriormente que los Babilonios eran famosos como constructores de tablas. Ahora bien, estas podrían usarse para resolver ecuaciones. Por ejemplo, construyeron tablas para n3 + n2; con la ayuda de estas tablas se podían resolver algunas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considérese la ecuación

ax3 + bx2 = c

Hay que enfatizar de inmediato que estamos usando notación moderna y que en los tiempos babilónicos no existía nada parecido a una representación simbólica. Sin embargo los Babilonios podían manejar ejemplos numéricos de ecuaciones como estas usando reglas que indican que tenían el concepto de un problema tipo determinado y un método tipo para resolverlo. Por ejemplo, en el caso anterior (usando nuestra notación) multiplicarían la ecuación por a2 y la dividirían por b2 para obtener

(a×/b)3 + (ax/b)2 = ca2/b3.

Tomando y = ax/b se obtiene la ecuación

y3 + y2 = ca2/b3

que podría resolverse buscando en la tabla de n3 + n2 el valor de n que satisface n3 + n2 = ca2/b3. Una vez hallada la solución para y, se hallaba la x haciendo x = by/a. Hacemos de nuevo hincapié en que todo esto se hacía sin notación algebraica, mostrando una comprensión de notable profundidad.

Una vez más, mirarían una tabla para resolver la ecuación lineal ax=b. Consultarían la tabla de 1/n para hallar 1/a y después multiplicar el número sexagesimal obtenido en la tabla por b. Un ejemplo de un problema de este tipo es el siguiente.

Supongamos, escribe un escriba, que tomamos 2/3 de 2/3 de una cierta cantidad de cebada, se añaden 100 unidades de cebada y se restaura la cantidad original. El problema propuesto por el escriba consiste en hallar la cantidad de cebada. La solución dada por el escriba consiste en calcular 0;40 por 0;40 para obtener 0;26,40. Restar esto de 1;00 para obtener 0;33,20. Buscar el inverso de 0;33,20 en una tabla, lo que resulta en 1;48. Multiplicar 1;48 por 1,40 para obtener la respuesta 3,0.

No es tan fácil entender estos cálculos del escriba a menos que los traduzcamos a la notación algebraica moderna. Tenemos que resolver

(2/3 × 2/3)x + 100 = x

que es, como sabía el escriba, equivalente a resolver (1 - 4/9)x = 100. Por eso el escriba calcula 2/3 × 2/3 y sustrae el resultado de 1 para obtener (1 - 4/9); luego busca 1/(1 - 4/9) y resuelve x multiplicando 1/(1 - 4/9) por 100 para dar 180 (que es 1;48 por 1,40, que da 3,0 en sexagesimal).

Para resolver una ecuación cuadrática los Babilonios básicamente usaban la fórmula estándar. Consideraban dos tipos de ecuaciones cuadráticas, a saber:

x2 + bx = c y x2 - bx = c

donde b, c son positivos, pero no necesariamente enteros. La forma de sus soluciones eran, respectivamente

x = √[(b/2)2 + c] - (b/2) y x = √[(b/2)2 + c] + (b/2).

Hay que notar que en cada caso se da la raíz positiva de las dos raíces de la ecuación cuadrática, que es la que tendría sentido en la resolución de problemas 'reales'. Por ejemplo, los problemas que llevaban a los Babilonios a estas ecuaciones a menudo se referían al área de un rectángulo. Por ejemplo si se da el área y la cantidad en que la longitud supera al ancho, entonces el ancho cumple una ecuación cuadrática, y aplicarían la primera versión de la fórmula descrita anteriormente.

Un problema de una tableta de la época de la Antigua Babilonia afirma que el área de un rectángulo es 1,0 y que su longitud supera a su ancho por 7. La ecuación

x2 + 7x = 1,0

por supuesto, no viene dada por el escriba, quien halla la solución de la siguiente manera: Calcula la mitad de 7, es decir 3;30, lo eleva al cuadrado para obtener 12;15. A esto el escriba suma 1,0 para obtener 1,12;15. Halla su raíz cuadrada a partir de una tabla de cuadrados, obteniendo 8;30. De esto resta 3;30, obteniendo 5 para el ancho del rectángulo. El escriba ha resuelto en efecto una ecuación del tipo x2 + bx = c usando x = √[(b/2)2 + c] - (b/2).

En [10] Berriman da 13 ejemplos típicos de problemas procedentes de tabletas de la Antigua Babilonia que llevan a ecuaciones cuadráticas.

Si los problemas relacionados con el área de los rectángulos llevan a ecuaciones cuadráticas, entonces los problemas relacionados con el volumen de una excavación rectangular (un 'sótano') llevan a ecuaciones cúbicas. La tableta de arcilla BM 85200+, que contiene 36 problemas de este tipo, es el primer intento conocido de plantear y resolver ecuaciones cúbicas. Hoyrup analiza esta fascinante tableta en [26]. Por supuesto, los Babilonios no llegaron a descubrir una fórmula genérica para resolver ecuaciones cúbicas. Esta no se encontraría hasta bastante después de otros tres mil años.

Referencias:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Babylonian_numerals.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Indexes/Babylonians.html
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/MatematicaBabilonia.html
http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3625

Cariños
Jek's